第二百一十一章 全國大學生數學競賽

　　第二百一十一章

　　時間來到正月十五號。

　　今天是元宵節，同樣是一年一屆的全國大學生數學競賽開賽的日子。

　　大一的學生們，是定在正月十八開學。

　　因此宿舍內，還是隻有馬正軒一人。

　　競賽上午九點開始，地點就在燕大的一棟教學樓。

　　早晨早早的起來，馬正軒洗漱好，喫完早飯，便來到圖書館進行最後的備戰。

　　這一週的時間，馬正軒一邊聽着競賽輔導課，一邊去顧律的辦公室時不時的請教問題，已經做了最充足的準備。

　　馬正軒不像畢齊，馬正軒講究的是穩妥。

　　既然選擇參加了大學生數學競賽，那自然是可以穩穩的拿到獎項最好。

　　最近這幾天，馬正軒一直很晚才睡，把往年的競賽真題和顧律出的十套模擬題，翻看了一遍又一遍。

　　現在，就是檢驗他備戰成果的時候了。

　　八點半，馬正軒離開圖書館，邁着穩健的步伐走向考場所在的教學樓。

　　九點整，全國大學生數學競賽正式開考。

　　試卷共有二十六道題目，其中包括兩道附加題。

　　滿分共200分。

　　按照往年的情況，需要190分以上的成績才能獲得全國一等獎。

　　畢竟，這可是全國範圍內層次最高的數學競賽。

　　連燕大、清華的學生都會參加這個比賽，足以證明這項賽事獲獎的難度多高。

　　馬正軒的目標，自然是奔着一等獎來的。

　　這屆全國大學生數學競賽，燕大共有三十多位數學系的學生參賽，其中大部分是大二大三的學長。

　　大一的學生，加上馬正軒，僅有三人。

　　馬正軒深感壓力很大。

　　不過，這段時間，在顧律的瘋狂灌輸下，讓馬正軒意識到，自己未必會弱與那些高粘結的學長。

　　馬正軒性格沉穩，但並非意味着不爭不搶。

　　“我不能對不起顧老師的期望！”馬正軒緊握着雙拳，深吸口氣，翻開試卷，目光一一掃過題目。

　　中規中矩！

　　這是馬正軒一瞬間的判斷。試題的題型和考點，和前幾年差別不大，只是在具體的題目上略作改變，整的來說只能算是中規中矩。

　　而且，有幾道題目，和顧律那十套模擬卷中的題目大同小異，馬正軒可以直接輕鬆類比過來解題。

　　一瞬間，馬正軒信心增強不少。

　　然後拿起筆，開始解題。

　　第一題：【設實方陣H1=（0、1|1、0），Hn+1=(Hn、I|I、Hn），n≥1，其中I是與Hn同單位的同階方陣，則rank(H4)=______】

　　這道題的考點是和對角方陣的有關知識點。

　　唰唰唰！

　　馬正軒在草稿紙上寫着解題步驟：【Hn是m=2^n階對稱方陣，那麼便會存在一個正交方陣P使得……得出答案，rank(H4)=10。】

　　馬正軒的做題速度稱不上多快，但仍舊只是五分鐘不到的時間，就搞定第一題。

　　半個小時時間，馬正軒搞定前面十道選擇，只剩下後面十六道大題。

　　而距離考試結束，還剩下三個小時的時間。

　　這個時間，足夠了。

　　馬正軒提筆開始做十六道大題的第一題。

　　【設α∈(1，2)，(1-x)^α的Ma級數爲∑akx^k，n x n實常數矩陣A爲冪零矩陣，I爲單位矩陣，設矩陣值函數G(x)定義爲……，試證對於1≤i，j≤n，積分∫g(ij)(x)dx均存在的充分必要條件是A^3=0.】

　　這是一道證明題。

　　考察的內容很多，有積分、矩陣，還有不等式。

　　但這並不能難住馬正軒。

　　這三方面的知識，都是很基礎的內容，馬正軒沒有不會的道理。

　　這種難度的題目，甚至不需要馬正軒在草稿紙上演算，但爲了穩妥起見，馬正軒還是在草稿紙上算了一遍再騰到答題紙上。

　　【A爲冪零矩陣故有A^n=0，記f(x)=(1-x)^α，當j＞k時，記……，用Jordan標準型直接表示出G(x)，故此，使得積分∫g(ij)(x)dx均存在的充分必要條件是A^3=0.】

　　當時間還剩下一個半小時的時候，馬正軒只剩下最後兩道附加題。

　　附加題一：【設X1，X2……Xn，都是獨立同分佈的隨機變量，其有共同分佈函數F(X)和密度函數f(x)，現對隨機變量，X1……Xn，按大小順序重新排列，……】

　　附加題二：【證明：若f∈S，則在Δ:|z|≦1內，有|z|/（1+|z|)^2≦|f(z)|≤|z|/(1-(x))^2.】

　　附加題一沒有難度，倒是附加題二，讓馬正軒卡殼了許久。

　　思索了許久，回憶了許久，馬正軒一直回憶到去年這個時候在冬令營培訓備戰IMO時，顧律給他講過的一個小知識點。

　　“這是……Koebe偏差定理！”馬正軒眼前一亮，回憶起顧律講述過的有關‘Koebe偏差定理’的內容。

　　所謂的Koebe偏差定理，也就是附加題二的題幹，是用來描述單位圓盤上單葉函數的一個有界定理。

　　“當時老師是怎麼證明這個定理的？”馬正軒閉着眼睛，仔細回憶。

　　“de Branges 定理！”許久之後，馬正軒緩緩吐出這個名詞。

　　他記得，當初就是利用de Branges 定理，推導之後，得到的Koebe偏差定理。

　　de Branges 定理，是大學複變函數課程中的一個定理，它的主要內容，是講如果有一個函數的冪級數展開爲f(z)=z+a2z^2+a3z^3+……anz^n，則|an|≦n且等號成立當且僅當函數z/(1-z)^2或它的旋轉。

　　而當時，在馬正軒的記憶中，顧老師就是利用，利用de Branges 定理，推導出當|z|＜1時，f(z)的範圍。由於f(0)=0，……，得到|f(z)|=|∫f(ζ)dζ|≤|z|/(1-z)^2，最後，得出Koebe偏差定理。

　　當時在冬令營的時候，顧老師明確的講過，這是超綱的內容，IMO會用到的可能性極小，讓衆人聽聽就可以。

　　雖然不會在IMO中用到，當時的馬正軒還是在筆記上記了下來，偶爾會翻看幾下。

　　但沒想到，在IMO上沒有用到，倒是在全國大學生數學競賽的時候，用到了這部分的知識。

　　若非是馬正軒時常溫習筆記上的內容的話，一年時間的過去，這部分內容，馬振軒肯定是記不得了。

　　既然知道了證明的過程，那剩下的就好辦了。

　　十幾分鐘的時間，馬正軒就完成了附加題二的作答。

　　至此，整套試卷馬正軒全部做完，而距離交卷，還有半個多小時。

　　在考試規則中，是允許提前交卷的。

　　但馬正軒沒有這麼做的習慣，在仔細反覆檢查了多遍後，一直等到考試結束鈴聲響起，馬正軒才交卷。

　　剩下的事情，便是靜待着成績的出爐了。

　　大學生數學競賽的閱卷速度很快，短則十天，多則半個月，就會公佈排名和獲獎情況。